вернёмся в библиотеку?
ГЛАВА ПЯТАЯ.

---

Работа К. Циолковского 1926 года.

1. Введение.

В 1926 году К. Циолковский издал в Калуге свою новую работу по межпланетным сообщениям под заглавием: „Исследование мировых пространств реактивными приборами". (Переиздание работ 1903 и 1911 гг. с некоторыми изменениями и дополнениями).

Хотя автор и говорит, что в этой работе сделаны лишь некоторые изменения и дополнения, однако, по существу эта книга затрагивает ряд новых вопросов, не разбиравшихся в его ранее напечатанных сочинениях, вопросов, о которых писали до 1926 г. Оберт, Гоманн, Макс Вальер, итальянские артиллеристы и др., при чем К. Циолковский, со свойственной ему оригинальностью, дает этим вопросам часто новое интересное трактование.

Ниже мы приводим конспективное изложение этой книги в отношении лишь новых вопросов, освещение которых еще не было сделано выше.

2. Мнение К. Циолковского о пушках.

К. Циолковский в своем сочинении „Исследование мировых пространств реактивными приборами“ (Калуга, 1926 г.) несколько изменил свои взгляд на применение пушек к посылке снарядов в межпланетное пространство, и говорит так: Пушки со временем могут иметь большое применение для массового отправления снарядов: для космических переселений в большом масштабе и как дополнение к ракетному способу. Для первых важных достижений, т.-е. для поселений поблизости земли, но вне атмосферы необходимо соединение пушечного метода с ракетным; ядро приобретает скорость меньшую 8 км, но потом добавляет ее взрыванием, как ракета. Электро-магнитные пушки имеют большое преимущество, так как более осуществимы, более экономны и имеют обильный приток энергии на всем протяжении. Далее К. Циолковский вычисляет таблицу данных полета пушечного ядра, предполагая давление на ядро внутри дула постоянным и полученным расширением водорода, причем последний подогревается, например, при помощи проводов, протянутых во взрывной камере. Плотность газа во всем дуле он также принимает постоянной.

Получаются следующие пять основных уравнений:

Р = p·n·F;. . . . . . (54)
w:g₃= P·M;. . . . . . (55)
. . . . . . (56)
. . . . . . (57)
. . . . . . (58)

Из этих формул выведены следующие четыре:

W = K·g₃. . . . . . (59)
P = (W · М) : g₃. . . . . . (60)
n = P:(F·p). . . . . . (61)

S² = : (2w). . . . . . (62)

При помощи этих формул составлена таблица, из которой видно, что при n= 10⁴ и S = 720 км можно получить V = 380 км.

При n = 100, К=100, S=144,5 получим 1/=17 км/с.

При К=4 км/с имеем n =10, K=10 и S=80 км. и т. д.
Здесь:

Р — давление на ядро,

р — давление атмосферы = 10,

n — число атмосфер давления,

F — площадь сечения пушечного канала,

W — ускорение ядра,

g₃, — ускорение земного тяготения — 10,

М — масса ядра = 10,

V — наибольшая секундная скорость,

S — длина пушки в км,

T_k — время пребывания ядра в канале,

К — относительная тяжесть в ядре,

D — диаметр сечения ядра в канале.

Все меры, кроме S, выражены в тоннах, метрах и секундах.

Таблица XII, — К полету пушечного ядра.

K W P n S Tk F V D

10 102 102 10 720 120 1 12 1,13

100 103 103 100 72 38 1 12 1,13

10 102 102 10 720 120 10 12 3,57

100 103 103 100 72 38 10 12 3,57

100 103 103 100 32 8 1 8 1,13

100 103 103 100 14,5 17 1 17 1,13

100 103 103 100 8 4 1 4 1,13

10 102 102 10 80 40 1 4 1,13

1000 104 104 103 7,2 1,44 1 12 1,13

1000 104 104 103 72 3,8 1 38 1,13

1000 104 104 103 72 3,8 10 38 3,57

1000 104 104 103 720 12 10 120 3,57

10000 105 105 104 720 38 10 380 3,57

40 400 400 10 80 20 4 8 2,26

Длина пушки по Циолковскому.

Предположим, что секундное ускорение движения снаряда внутри дула 1000 м (g · 100 = 10 · 100). Если надо избавиться от тяготения земли, то приходится в канале приобрести скорость 12 км/с. Это может совершиться в течение 12 секунд. Средняя скорость ядра будет 6 км/с. В 12 секунд оно пройдет 72 км, что и составит наименьшую длину пушки. По всей же вероятности она будет раз в 10 больше, так как человек и в жидкости не выдержит более 10 g.

3. Общая теория реактивного полета.

Рассмотрим два случая реактивного полета: 1) когда выбрасываемое из ракеты вещество не имеет собственной энергии, а извергается при помощи другого невесомого источника энергии, и 2) когда выбрасываемое вещество извергается благодаря своей собственной энергии. Предположим, что явление происходит в среде без тяготения и сопротивления воздуха.

1 случай. Пусть масса ракеты - М₁, ее скорость — V.

отбрасываемого вещества М₂ его скорость — V₁.

Тогда, на основании закона количеств движения, имеем

М₁ · V + М₂ · V₁ = 0. . . . . . (63)

Работа, полученная ракетой, равна

. . . . . . (64)

Работа отброшенного вещества:

. . . . . . (65)

Полезность ракеты будет:

. . . . . . (66)

или, так как

= -

. . . . . . (67)

Последняя формула показывает, что, чем меньше масса ракеты по отношению к массе отброса, тем полезность ракеты выше. На основании этой формулы составлена таблица XIII

Таблица XIII

Масса ракеты M1 Масса отброса М2 Полезность ракеты Кp То же в %

10 0 0 0

9 1 0,1 10

8 2 0,2 20

7 3 0,3 30

6 4 0,4 40

5 5 0,5 50

4 6 0,6 60

3 7 0,7 70

2 8 0,8 80

1 9 0,9 90

0 10 1,0 100

Так как всегда ракета имеет какую-нибудь массу, то полезность ее не может равняться 100%.

Однако, если ракета имеет уже некоторую скорость, то при отбрасывании отброса с той же скоростью назад, получим полное использование его энергии (100%). Действительно, обозначая скорость, которую ракета уже имела, через V₁ получим:

. . . . . . (68)

и, подставляя

= -

. . . . . . (69) что при V¹= - V₁ дает К_р = 1 или 100%.

Поэтому выгодно, чтобы частицы отброса отталкивались прямо в противоположную сторону от движения ракеты со скоростью самой ракеты.

Рассмотренный первый случай мог бы иметь место, когда:

a) энергия получается с земли в виде лучей,

b) с солнца в форме = α и β = частиц,

c) из запаса радия, взятого в ракету.

В последнем случае масса радия, в виду громадной скорости его частиц, может быть весьма малой, и массу ракеты можно считать постоянной.

Для этого случая, как и для энергии, притекающей извне, имеем уравнение количества движения:

М₁ · dV = V₁ · dM₂. . . . . . (70)

При интегрировании получим:

. . . . . . (71) где С — начальная скорость ракеты.

Если она равна 0, то

. . . . . . (72)

Если скорость частиц отброса V₁ = 3·10⁸м, то и M₂= M₁, то и V=3·10⁸, т.-е. скорость полета ракеты будет в 18.000 раз больше той, которая нужна, чтобы одолеть протяжение солнца.

Если V₁ = 30·10⁶ и V= 17·10³, т.-е. скорость ракеты лишь немного превышает необходимую для удаления от солнца, то = 0,00057, т.-е. в случае радиоактивного вещества, масса последнего потребуется равная около 1/2000 массы ракеты.

Полезность ракеты будет:

или . . . . . . (73)

Для нашего случая K_p = 0,00057, т.-е. использование энергии весьма мало, но зато и запас взрывчатого вещестиа ничтожен.

2-й случай. Случай, когда извергаемое вещестно вылетает благодаря запасу энергии в нем самом, как это и можно ожидать на практике применении взрывчатых веществ, будет более применим. В этом случае запаса энергии на единицу массы отброса будет больше и получится большая скорость отброса, чем если бы мы стали выбрасывать инертное вещество (напр. песок), при помощи какого-либо взрывателя.

4. Энергия взрывчатых веществ и ее использование.

Для того, чтобы энергия взрывчатого вещества была наилучше использована для отдачи в ракете, необходимо, чтобы возможно большая часть химической энергии частиц превратилась в поступательное движение газо-или парообразных продуктов горения. При этом желательно, чтобы продукты горения, отработав во взрывной трубе при своем расширении, имели вне трубы возможно низкую температуру, которая по возможности вся должна быть использована для отдачи ракеты. Абсолютная температура взрывающихся газов должна была бы достигать 10 000, однако, на практике она едва ли превосходит 3 000°. В нижеследующей таблице показаны разные степени использования теплоты во взрывной трубе ракеты и даны числа, выражающие не степень тепла, а степень потенциальной энергии, при чем, начиная с 2 000, они будут выражать уже и температуру.

Таблица XIV

Расширение газов Температура абсолютная или энергия Температура по Цельсию Использование тепла в процентах Потеря в процентах Примерная плотность газов по отношению к воздуху

1 10000 9727 0 100 1000

6 5000 4727 50 50 167

36 2500 2227 75 25 28

216 1250 977 87 13 4,6

1300 625 352 95 5 0,77

7800 312 39 97 3 0,13

46800 156 -147 98,4 1,6 0,02

Каждый последующий столбец таблицы соответствует шестикратному расширению газа по предыдущему столбцу, при этом абсолютная температура понижается вдвое. При полете в атмосфере взрывание необходимо производить при высоком давлении и не менее атмосферного. При полете же в пустоте упругость газов —- продуктов взрыва — может быть весьма мала. Поэтому желательно регулировать это давление в зависимости от условий полета.

Примерный расчет сечения взрывной трубы.

Предположим, что ракета взлетает с высокой горы, где атмосферное давление равно 0,3 кг на см². Такое давление минимум должны иметь газы, вылетающие из взрывной трубы. У основания же ее они должны иметь давление значительно большее, например, не менее как в 36 раз (использование 75%, т.-е. в 10 атмосфер, а в нижних слоях атмосферы 10·3=30 атм.). Принимаем его в 100 атм. Если ракета весит 1 тонну, а с горючим 5 тонн, и если давление газов превышает вес в 2 раза, то оно у основания трубы будет равно 10 тоннам что дает площадь сечения и диаметр = 11,3 см.

Энергия взрывчатых веществ.

В таблице приведены данные о работе 1 килограмма различных взрывчатых веществ в двух предположениях: а) когда в вес этого килограмма входит и необходимый для горения кислород и б) когда кислород этот заимствуется из окружающего воздуха при полете в атмосфере.

Таблица XV. — Энергии взрывчатых веществ на 1 кг продуктов.

Род вещества

Большие калории

Килограммометры

Скорость в метрах в сек.

Отношение работ

А. Без притока кислорода извне

Н2 и О2; получаются пары воды То же, но получается вода То же, но получается лед С и О2; получается СО2 Бензин Н6С6 и О2; получается Н2O и СО2

3200 3736 3816 2200 2370

1,37·106 1,6·106 1,63·106 0,94 . 106 1,01 . 106

5180 5600 5650 4290 4450

1,455 1,702 1,730 1,006 1,077

Б. С притоком кислорода извне

Н2; получается Н2О С; получается СО2 Углеводород Бензин ; получается СО2 и Н2O Радий

28780 8080 10000 13000 1,43 . 109

12,3·106 3,46·106 4,28·106 5,56·106 0,611·1012

15520 8240 9160 10440 3,44·106

13,08 3,673 4,545 5,909 0,65·106

5. Дополнение к теории движения ракеты в пустоте и в среде, свободной от тяготения.

На стр. 57 было выведено уравнение движения ракеты (1)

dV (M₁+M) = -V₁dM . . . . . . (74) из этого уравнения имеем: . . . . . . (75)

Первая часть выражает секундное ускорение ракеты или увеличение ее тяжести. Оно пропорционально расходу горючего в единицу времени. Кроме того, ускорение ракеты увеличивается с уменьшением остающегося количества горючего М.

Для получения постоянного ускорения ракеты, соответствующего постоянной относительной тяжести Т₀, внутри нее, необходимо выполнить условие:

. . . . . . (76) откуда . . . . . . (77) Интегрируя, получаем: V₁· In · (M₁+ M) = T₀ · t + С. . . . . . При t₀ и С=0. . . . . . (78)

Если израсходовано все горючее, то М = 0, и

. . . . . . (79) т.-е. время взрывания обратно пропорционально относительной тяжести и увеличивается с массою М отброса.

Из уравнения (76) имеем:

1)

. . . . . . (80)

Из этого уравнения следует, что расход горючего будет наименьшим в конце полета, когда М мало, и наибольшим в начале полета, когда М велико. В первом случае . . . . . . (81) и во втором . . . . . . (82) отношение этих величин равно . . . . . . (83)

Чем больше отношение , тем сильнее изменяется расход горючего и, обратно, он почти постоянен при малом этом отношении. На практике силу взрывания изменять неудобно; проще переносить непостоянную относительную тяжесть, погружая людей и другие нежные предметы в жидкость.

Если расход горючего постоянен, то время взрывания всего запаса будет:

. . . . . . (84) где М¹₂ — полная масса горючего.

Здесь производная есть постоянный секундный расход горючего.

Если же расход горючего непостоянен, но относительная тяжесть постоянна, то время взрывания будет равно

. . . . . . (85) здесь является постоянным.

Далее приведена таблица, составляющая развитие табл. II, стр. 60, и определенная на основании формул (6) и (7).

Таблица XVI.

Отношение массы горючего к массе ракеты	Скорость V м/с, если V1 горючего= 5000 м (фор. 6)	Скорость V м/с, если скорость V1= 4000 м (фор. 6)	Утилизация Kp в % (фор. 7)	Высота полета в км при постоянной земной тяжести
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 30 50 100 193 ∞	472,5 910 1310 1680 2025 2345 2645 2930 3210 3465 4575 5490 6900 8045 8960 9730 10385 10985 11515 11990 13865 15220 17170 22400 26281 30038 ∞	378 728 1048 1344 1620 1876 2116 2344 2568 2772 3660 4392 5520 6436 7168 7784 8316 8788 9212 9592 11092 12176 13736 17920 21040 24032 ∞	8,87 16,55 22,9 28,2 32,8 36,7 40,0 42,9 45,8 48,0 55,8 60,3 63,5 64,7 64,1 63,0 61,7 60,5 58,9 57,6 51,2 46,3 39,3 31,0 21,0 14,4 0	11,4 42 92 138 204 280 357 440 520 607 650 1520 2430 3300

Скорость 5000 м/с соответствует горению водорода и кислорода, а 4000 м/с — углерода и эндогенному соединению кислорода.

Вышеприведенное исследование применено в том случае, если силы тяжести нет (между солнцами или млечными путями), или где она мала (на малых астероидах), или в том случае, если ракета летит вне атмосферы и имеет скорость, препятствующую ей задевать планеты и их атмосферы. (В последнем случае явления будут относительные).

6. Наклонный полет ракеты.

(Дополнение к стр. 66).

Формулу (29) стр. 66 К. Циолковский пишет в виде:

. . . . . . (86)

Работа ракеты равна:

. . . . . . (87) где T₃ = g · M₁ · L · sin (α —90°) (работа поднятия ракеты). . . . . . (88)

Если R и Р постоянны, то путь L равен:

. . . . . . (89)

Далее из (87 — 89) имеем:

. . . . . . (90)

Работа взрывчатых веществ:

. . . . . . (91)

Из (90) и (91) имеем полезность ракеты:

. . . . . . (92)

По черт. (33) имеем по данным тригонометрии:

. . (93)

Из (92) теперь можно исключить неизвестный sin (α — 90°).

Для исключения V₂ имеем уравнение:

. . . . . . (94)

Это есть полное время взрывания при постоянной относительной тяжести T₀

но Т₀ = Р и V₂ = R · t. Поэтому из (94): . . . . . . (95) Теперь из (92), (93) и (95) найдем: . . . . . . (96)

Если g = 0 и R = P, то получаем формулу (7).

Если полет ракеты производится по вертикали, то α + β — 90° = 90° и R = P — g. Тогда полезность ракеты будет:

. . . . . . (97)

На основании формулы (18) К. Циолковский при разных отношениях р : g дает значения и небольшие соответствующие скорости в % в следующей таблице:

Таблица XVII.

р : g	1	2	3	4	5	10	∞
Полезность Скорость в %	0 0	50 70,7	66,7 81,7	75 86,0	80 89,4	90 94,9	100 100

7. Полет ракеты в среде тяжести и в воздухе.

(Приблизительный подсчет).

Если скорость полета ракеты горизонтальна или наклонена к горизонту под углом не свыше 40°, то влияние сопротивления воздуха можно уподобить снижающей силе, которая как бы заставляет падать ракету. Однако, это падение выразится скоростями от 20 — 30 м/с до 1 м/с и менее, что при громадных скоростях ракеты составляет ничтожную величину.

Из чертежа (36) имеем:

V₂ = R · t. . . . . . (98)
R = p - g · sin β. . . . . . (99)
T₀ = P . . . . . . (100)
. . . . . . (79)
. . . . . . (101)

Здесь p — постоянно.

Определим полезность ракеты:

. . . . . . (102)
T₃ = M₁ · g · h = M₁ · g · L sin β. . . . . . (103)

Отсюда

. . . . . . (104)

Далее

. . . . . . (105)

Следовательно, полезность ракеты будет:

. . . . . . (106)

Из уравнения (99), (101) и (106) найдем:

. . . . . . (107)

Потеря, сравнительно со средою, свободною от тяжести, будет:

. . . . . . (108)

Если, например, = 0,3; β = 20°; sin β = 0,342, то потеря составит 11,4%.

В следующей таблице приведены потери при разных углах:

Таблица XVIII.

Угол наклона в градусах		1	2	5	10	15	20	25	30	35
Потери энергии в % при разных	10 5 2 1	0,17 0,34 0,85 1,7	0,34 0,64 1,7 3,4	0,85 1,7 4,25 8,5	1,7 3,4 8,5 17	2,6 5,2 13 26	3,4 6,8 17 34	4,2 8,2 21 42	5 10 25 50	5,7 11,4 28,5 57

8. Более точное вычисление сопротивления атмосферы.

Предположим, что температура воздуха постоянна и атмосфера распространяется безгранично. Тогда

. . . . . . (109) где есть высота h₁ воображаемой атмосферы при постоянной плотности.

Поэтому

. . . . . . (110)

. . . . . . (111)

Черт. 36

Эта формула является упрощением формулы (46). Сопротивление воздуха движению ракеты равно:

. . . . . . (112)

При наклонном движении, длина пути равна (черт. 36):

L = h : sin β. . . . . . (113)

Но из (99) имеем:
R = p - g sin β и кроме того,
Поэтому

. . . . . . (114)

Элемент работы сопротивления воздуха будет:

. . . . . . (115)

Из этого уравнения и из уравнений (111 —114) найдем:

. . . . . . (116)

Положим:

(см. 113)

Тогда найдем:

. . . . . . (117)

Обозначая выражение:

. . . . . . (118)

Интегрируем и определяем постоянное. Тогда получим (см. 113):

. . . . . . (119)

Положим:

. . . . . . (120)

Тогда:

. . . . . . (121)

При полной работе сопротивления В = ∞ или z = ∞ имеем:

. . . . . . (122)

следовательно:

. . .(123)

Если В или z равны ∞, то и выражение (123) обращается в нуль. Значит работа сопротивления воздуха будет

T₄ = A. . . . . . (124)

Полную работу отвесного движения получим из формулы (118), если положим β = 90°. Тогда найдем:

. . . . . . (125)

Сравнивая эту работу с полной работой наклонного движения, увидим, что последняя больше первой в

. . . . . . (126)

Для малых углов β выведенные формулы неприменимы.

По формуле (118) можно вычислить полную работу отвесного движения. Например, при: S = 2м²; p = 100; g = 10; h₁ = 8 000; d₁=0,0013; U=100
имеем:

Т₄ = 14976 т-м.

Она незначительна в сравнении с работой ракеты, которая более 60 млн т-м. От наклонного движения она увеличивается. По формуле (126), например, для р = 30 или 20 и g =10 имеем таблицу XIX при разных углах β

Таблица XIX.

β	10°	20°	30°	40°	50°	90°
T4; p=30 T4; p=20 1 : sin2 β	46,7 60 33	11,3 14,2 8,55	5 6,0 4	2,85 3,3 2,42	1,92 2,1 1,?0	1 1 1

Из строки 2-ой видно, что с 20° наклона работа увеличивается в 11 раз, и из сравнения 2-й и 3-й строк с 4-й видно, что работу можно грубо считать пропорциональной 1 : sin² β = cosec² β.

Зависимость работы сопротивления от пройденного пути или достигнутой высоты h дана в след. таблице XX. (Форм, 118, 121 и 122)

Таблица XX.

Угол β	1	5	10	20	30	40	50	90
h=4 h=8 h=16 h=24	0 0 0 0	0 0 0 0	0 0 0 0	3,6 0,094 0 0	25 54 0,14 0	45 19 24 0,305	59 32 79 2	74 53 25 11

9. Наивыгоднейший угол полета.

По формуле (98) или (108) можно вычислить потерю работы от наклона в среде тяжести. По формуле же (118) определяем соответствующую потерю от сопротивления атмосферы. Определим наивыгоднейший угол наклона.

Потеря от наклонного движения ракеты выражается (108):

(в абсолютн. ед.). . . . . . (127)

Потеря от сопротивления атмосферы в абсолютных единицах будет (118):

. . . . . . (128)

Работа ракеты равна:

. . . . . . (129)

Поэтому обе потери в абсолютных единицах будут:

. . . . . . (130)

Однако, взяв производную этого выражения и приравняв ее нулю, получим уравнение неудобное для решения относительно sinβ.

На стр. 76 было сказано, что выгоднейший угол не велик. Поэтому можно у 2-го члена пренебречь выражением g sin β. Тогда уравнение 130 примет вид:

. . . . . . (131)

Здесь x = sin β.

Дифференцируя и приравнивая первую производную нулю, получим:

. . . . . . (132) и с помощью 129 . . . . . . (133)

Отсюда видно, что выгодный угол β увеличивается с энергией взрывания р и с площадью миделя ракеты s и уменьшается с увеличением коэффициента формы U и с увеличением отношения масс .

Например, для s = 2; d₁ = 0,0013; h₁ = 8000; = 10; U =100; T₁ = 10 F₂ = 5 000, получим sin β = 0,167 и β = 9°35'. При p = 20, sin β = 0,57 и β = 3°20'.

Но при таких малых углах сопротивление атмосферы, в виду ее сферичности, будет гораздо меньше, и поэтому и выгодный угол будет меньше.

Из формулы (131) найдем относительную потерю от обеих причин:

. . . . . . (134)

Упростим эту формулу. Для этого разделим второй член на третий. Это даст нам отношение потери от влияния тяжести к потере от сопротивления воздуха. Далее, исключаем из этого отношения X при помощи (133). Тогда получим число 2, что показывает, что при наивыгоднейшем наклоне потеря от тяготения вдвое больше потери от сопротивления воздуха. Следовательно:

. . . . . . (135)

Например, при углах 9° и 3° получим полную потерю 0,025 и 0,0428, т. е. в 2,5% и 4,3%.

Из (135) и (133) получаем полную относительную потерю:

. . . . . . (136)

В таблице XXI вычислены эти потери в % для разных р и х.

Таблица XXI.

Ускорение ракеты без тяжести (р)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
sin β = x Угол в град, β Потеря в % z : T1	0,0097 0°56' 14,6	0,0154 0°88' 11,6	0,0204 1°17' 10,2	0,0246 1°41' 9,23	0,0292 1°68' 8,57	0,0326 1°86' 8,07	0,0356 2°07' 7,66	0,0392 2°26' 7,33	0,0422 2°43' 7,05	0,0453 2°60' 6,80

Ускорение ракеты без тяжести (р)	15	20	25	30	40	50	60	80	100	200
sin β = x Угол в град, β Потеря в % z : T1	0,059 3°25' 5,94	0,072 4°10' 5,40	0,083 4°45' 4,97	0,094 5°25' 4,71	0,114 6°33' 4,28	0,133 7°40' 3,98	0,150 8°40' 3,75	0,182 10°30' 3,40	0,211 12°10' 3,10	0,333 19°30' 2,50

По таблице и формуле (128) легко показать, что приближенные формулы не дают большой ошибки даже при р = 1. При большем р она гораздо меньше.

10. Влияние кривизны поверхности земли.

Из формул 111, 112, 114 и 115 получим в обыкновенных единицах :

. . . . . . (137)

Для плоской земли имели еще формулу 113 : L = h : sin β. Но для шарообразной она применима только при не очень острых углах β . Более точная формула для всяких углов имеет вид:

. . . . . . (138) где г₂ — радиус земли. Отсюда получаем . . . . . . (139)

Положим:

. . . . . . (140)

Ограничиваясь тремя членами, получим:

. . . . . . (141)

Решим задачу о работе сопротивления атмосферы в частном случае, когда полет горизонтален (β = 0). Тогда:

. . . . . . (142) Далее, из (116) . . . . . . (143)

Положим

Тогда

L·dL = r₂h₁·dx. . . . . . (144)

и вместо (143) имеем:

. . . . . . (145) Интегрируя и определяя постоянное, имеем: . . . . . . (146) . . . . . . (147)

Это выражение и определяет полную работу сопротивления атмосферы.

Для вертикального движения имели

. . . . . . (125)

При таком движении работа сопротивления атмосферы будет меньше (по 125 и 147)

. . . . . . (148)

Например, при p=100; п = 10; h₁ = 8 000 из (148) получим 883, т. е. работа при горизонтальном движении чуть не в 1000 раз больше, чем та же работа сопротивления атмосферы при отвесном полете снаряда. Итак, путь, близкий к горизонтальному, невыгоден. Из 146 и 147 видно, что T₄ много зависит от р. В виде примера вычислим работу сопротивления атмосферы при горизонтальном движении ракеты для разных р и при s = 2; U= 50 (форм. 146).

T₄ = 264800p. . . . . . (149)

Работа ракеты:

. . . . . . (150)

Работа ракеты для одоления земной тяжести при М₁= 10 составит около 64·10⁶. Это более сопротивления атмосферы в раз. Вычисленные потери даны в таблице XXII.

Таблица XXII.

Сила взрыва р	1	2	5	10	20	30	50	100
Потери в %	0,42	0,83	2,1	4,2	8,3	12,5	20,8	41,7

Таблица XXIII. — Сопротивление воздуха и работа ракеты при разных постоянных скоростях полета.

Таблица составлена в предположении, что: масса ракеты 10 т, площадь ее миделя — 4 м², коэффициент ее формы 0,01, плотность воздуха — 0,0013 плотности воды.

Скорости в км/c V Сопротивление воздуха на площадь миделя в тоннах Rt= 0,0001·V2·4 Сопротивление воздуха движению всей ракеты R = 0,01 Rt Работа ракеты при полете на 10 км в тысячах тоннометров

4 6 400 64 640

6 14 400 144 1 440

8 25 600 256 2 560

10 40 000 400 4 000

12 57 600 576 5 760

16 102 400 1 024 10 240

17 115 600 1 156 11 560

Если ракета весит 10 т, то для одоления земной тяжести необходима работа не менее 6 370 000 X 10 Х 2 + 127 400 000, где 2 выражает, что утилизируется не более 50% энергии взрывчатых веществ.

Отношение работы сопротивления к работе взрывчатых веществ в % на пути в 10 км То же, но по отношению к работе движения снаряда в % То же при пробеге в 50 км в % То же при пустой ракете весом 1 т в % То же для снаряда из пушки на высоте 8 км весом 10 т на пути 50 км в %

0,50 1,00 5,00 50 1,5

1,13 2,26 11,30 113 3,4

2,02 4,04 20,2 202 6,0

3,15 6,30 31,5 315 9,4

4,54 9,08 45,4 454 13,6

8,06 16,12 80,6 806 24,2

9,10 18,20 91,0 910 27,3

11. Спуск на землю и на планеты.

Если для поднятия ракеты массою М₁ требуется горючего в K₁ раз больше, то полная масса будет:

М₁ (1 + К₁). . . . . . (151)

Для спокойного обратного спуска потребуется еще горючего

М₁ (1 + К₁) К₁, что дает полную массу при поднятии М₁ (1 + К₁)² и масса горючего будет М₁ (1 + К₁)² - M₁ = М₁ [(1 + К₁)²-1]. . . . . . (152)

Если например,

M₁=1 и К₁ = 9, то запас будет и 99 раз больше веса ракеты со всем содержимым кроме горючего, и такой запас едва ли возможно осуществить.

Если бы на орбите земли была еще какая-нибудь планета, то поднятие с земли и спуск на нее потребовал бы запас горючего:

М₁ {(1 + К₁)(1 + К₂) - 1},. . . . . . (153)

где К₁ — относительное количество взрывчатых веществ, необходимее для спуска на эту планету.

Если на этой планете мы не можем возобновить запаса горючего, и желаем возвратиться на землю, то с последней мы должны взять запас горючего:

М₁ {(1 + К₁)² (1 + К₂)² - 1},. . . . . . (154)

Если чужая планета по массе и объему равна земле, то

М₁ {(1 + К₁)⁴ - 1},. . . . . . (155)

Если наконец,

M₁=1 и К₁ = 9, то запас будет 9999, что неосуществимо.

Поэтому, путешествие на Венеру, Юпитер и на другие большие планеты неосуществимо; наоборот, полет на астероиды значительно легче.

При полете на разные (числом h, включая и землю) планеты, без возобновления на них запаса горючего, и для возвращения затем на землю, необходим запас горючего:

М₁ {(1 + К₁)² (1 + К₂)²(1 + К₃)²....x(1 + К_n)² - 1}. . . . . . (156)

В виду громадности запаса, можно избежать его черезмерной величины, делая спуск на землю по спиралям, планируя в воздухе, как аэроплан.

12. Горизонтальный полет ракеты в равноплотной атмосфере при наклоне ее длинной оси.

Пусть ракета летит горизонтально со скоростью V, при чем ее ось наклонена к горизонту на угол β. Тогда вертикальное давление на нее воздуха будет (черт. 37):

Черт. 37

. . . . . . (157) где S' горизонтальная проекция ракеты, К_ф — поправочный коэффициент, сравнивающий ее с непродолговатой плоскостью.

Для равновесия ракеты необходимо, чтобы вес ракеты М₁ равнялся вертикальному давлению воздуха.

Поэтому из (157)

. . . . . . (158)

Если M₁' = 1; g = 10; d = 0,0013; V = 100; S¹ = 20; К_ф = 1, то β = 2,2°.

При M₁' = 10; β = 22,7°.
При V = 1000; β' = 0,001β.

Определим теперь работу Т₅ горизонтального сопротивления R_x атмосферы. Величина R_x равна:

. . . . . . (159)

Элемент работы

dT₅ = R_x·dL. . . . . . (160)

Полагая d постоянным и р переменным, имеем:

. . . . . . (161)

Из (159 — 161) имеем:

. . . . . . (162)

Интегрируя и определяя постоянные, получим:

. . . . . . (163)

Здесь

. . . . . . (164)

Если считать работу с начала пути, где скорость нуль, то такая работа беспредельна. Однако, она становится небольшой, если ракета прошла уже часть пути L₁ и приобрела некоторую скорость. В равноплотной среде работа возрастает беспредельно.

Положим в уравнении (164) — M₁ = 1; g = 10; S₁ = 20; К_ф =1; p = 10. Тогда А = 19,2 и

. . . . . . (165)

Пусть после 10 км пути ракета пролетела 1000 км. Тогда T₅ = 19,2 · ln · 100 = 88,3. Если же ракета пройдет сначала 1 км, то T₅ = 132,5. Следовательно, на удержание от падения идет ничтожная работа. Выразим ее в функции V.

Из уравнения 161 и 163 имеем

. . . . . . (166)

Если начальная скорость V₁ = 100 м/c, а конечная V = 10 000 м/с, то T₅ = 19,2 ln (100²) = 176,6

Если начальная скорость V₁ = 10 м/c то T₅ = 19,2 ln (1000²) = 265.

Длина пути определяется из (161): = 5,10⁶ м = ~ 5 000 км.

Конечно, работа изменяется в зависимости от плотности воздуха, обращаясь в нуль в пустоте и в громадную величину в нижних слоях атмосферы. Вообще, если ракета летит в равноплотном воздухе, то центробежная сила может уравновесить тяжесть и угол может быть сделан равным нулю. Однако, при этом возрастает лобовое сопротивление атмосферы, и вообще мы не доказываем, что путь в равноплотном воздухе является наивыгоднейшим.

13. Полет ракеты без наклона ее оси к горизонтальной начальной скорости

Под влиянием силы тяжести ракета будет в секунду спускаться на:

. . . . . . (167)

Если M₁ =1; g = 10; d = 0,00037 (на высоте 10 км; S₁=20; К_ф=1; V = 2 260; h=10 000, то r = 0,6, т. е. в секунду ракета будет опускаться на 60 см.

Исключая из (167) d и V (форм. 111, 161 и 142), получим:

. . . . . . (168)

Скорость же поднятия при движении по касательной вычислим так:

. . . . . . (169) но по 142:

Следовательно:

Дифференцируя, найдем:

. . . . . . (170)

На основании предыдущих формул составляем таблицу XXIV, характеризующую полет ракеты с начальной горизонтальной скоростью:

Таблица XXIV.

Время полета ракеты в сек. t Секундная скорость в метрах (p=10) Длина пути в километрах L (рейс) Высота (приблизительно) метры Скорость поднятия в секунду Плотность воздуха d Скорость падения от тяжести и сопротивления воздуха. метры

10 100 0,5 0,02 0,008 - 3,85 1

20 200 2 0,32 0,064 1 1,92 1

50 500 12,5 12,3 0,554 - 0,77 1

100 1 000 50 197 4.43 0,0013 0,385 1

200 2 000 200 3 150 35,5 0,000878 0,280 1,48

400 4 000 800 50 400 283 Близка 53 550

1 000 10 000 5 000 1 970 000 4 430 к нулю 4.10109 10109

Из этой таблицы следует, что, в случае горизонтального полета, последний следует начинать с башни высотою в 100 м или с обрыва крутизною 45° при р = 10. Если р > 10, то высота башни может быть меньше. Ракета сначала опустится несколько вниз, затем полетит параллельно земле и, наконец, приближается к касательной к земле.

14. Восходящий полет ракеты.

Восходящий полет ракеты, по сравнению с горизонтальным, требует меньшей энергии взрывчатых веществ, именно при малом угле наклона траектории полета к горизонту.

При таком полете высота поднятия ее h от земной поверхности зависит от двух причин: от угла наклона

h' = sin δ · L. . . . . . (171) и от сферичности земли h" = L² : D₃. . . . . . (172) отсюда . . . . . . (173)

Величина снижения определяется формулами 167 и 168, в которых угол имеет другое значение и соответствует уклону, зависящему от сопротивления воздуха и скорости полета. Он вообще весьма мал.

При восходящем движении минимальное значение р определяется уравнением:

p = g sin δ. . . . . . (174)

При полете с горы необходимо, чтобы р значительно превышало g. Приводим наименьшие значения р, соответствующие этому условию в зависимости от угла δ и р.

Углы δ в °	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p в метр. 10 p	0,175 1,75	0,349 3,49	0,523 5,23	0,698 6,98	0,872 8,72	1,05 10,5	1,22 12,2	1,39 13,9	1,56 15,6	1,74 17,4

Из таблицы видно, что даже при р увеличенном в 10 раз и при δ = 10° оно только в 1,7 раза больше g (10 т). Однако при этом и меньших углах можно ограничиться меньшей взрывающей силой (около 0,1 силы тяжести), что имеет технические выгоды.

В следующей таблице XXV даны величины секундной энергии двигателя на 1 т ракеты при разных р и V. Энергия выражена в тысячах метрических сил (100 кгм). Скорости — в километрах:

Таблица XXV.

Скор. 1 2 3 5 10 20 30 50 100

0,1 0,1 0,2 0,3 0,5 1 2 3 5 10

0,2 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 10 20

0,3 0,3 0,6 0,9 1,5 3 6 9 15 30

0,5 0,5 1 1,5 2,5 5 10 15 25 50

1 1 2 3 5 10 20 30 50 100

2 2 4 6 10 20 40 60 100 200

5 5 10 15 25 50 100 150 250 500

8 8 16 24 40 80 160 240 400 800

11 11 22 33 55 110 220 330 550 1 100

Из таблицы видно, что энергия однотонной ракеты при min ускорении и малом δ изменяется от 100 до 1 100 м сил. Для достижения такой ракетой космической скорости 8 км, достаточно 4 т горючего. Время взрывания при p = 1 ( =0,1g) — 800 сек. и на секунду придется ~ 0,5 кг горючего.

В следующей таблице XXVI приведены данные о среднем количестве горючего на секунду при разных р и при массе ракеты в 1 т.

Таблица XXVI.

Запас горючего в тоннах Конечная скорость в м Время взрывания в сек Время в часах Количество горючего в кг. при p =1 То же при р = 5 То же при р = 10

1 3 465 3 465 0,96 0,29 1,45 2,9

4 8 045 8 045 2,23 0,5 2,5 5

9 11 515 11 515 3,2 0,78 3,9 7,8

30 17 170 17 170 4,8 1,75 8,75 17,5

Если приравнять скорость падения (167) к скорости поднятия (74), то получим:

. . . . . . (175)

При этом угле начальное движение будет горизонтальным. Например, если M₁' = 1; g = 10; S' = 20; Кф = 1; V= 100, то δ = 2,2°. При V= 200, δ = 0,5°.

15. Работа солнечного тяготения.

Черт. 38.

Если ракета должна покинуть землю и сделаться спутником солнца, двигаясь вокруг него по той же орбите, как и земля, то ей достаточно сообщить скорость V² = 11,17 км/с (черт. 38). Тогда она будет вращаться вокруг солнца со скоростью V₁ = 29,5 м/с, т. е. с такой же, как и земля. Для удаления же от солнечной системы, ей необходимо придать добавочную скорость V₃, равную 29,5· — 29,5 = 12,21 км/с и направленную попутно движению. Таким образом, для удаления от земли необходимо затратить раЬоту , а для удаления от солнца — работу где т — масса ракеты. Полная работа будет соответствовать скорости V₄ определяемой из уравнения

или

Откуда

V₄ = 16,55 км/сек.

Если начальная скорость была попутной экваториальной скорости земли, равной V₅ =0,465 км/сек, то конечная скорость V₆ = V₄— V₅ ≌ 16 км/сек. При этом ракета уйдет от солнца и будет носиться в нашем млечном пути.

При полете ракеты против годового движения земли потребуется скорость значительно больше прежней, так как ракета должна сначала потерять скорость 29,5 км/сек, а затем приобрести скорость

29,5 · = 41,7 км/сек., а всего иметь относительно солнца 29,5 + 41,7 = 71,2 км/сек.

Полная скорость определится, как и раньше, из уравнения

В этом случае затраченная скорость больше прежней (V₄) в 4½ раза, а работа будет больше в (4½ )²= 20 раз.

16. Выводы.

На основании вышеизложенного К. Циолковский предлагает следующий способ взлета ракеты:

Ракета помещается на автомобиль¹, который катится по дороге наклонной под ∠ 10—20° со скоростью от 40 до 100 м., при чем дорогу следует проложить в высоких горах. Далее ракета отделяется от автомобиля и летит в атмосфере, при чем для горения используется кислород воздуха. Наклон траектории, с увеличением скорости, уменьшается, затем она становится параллельной земле, и, наконец, ракета уходит от земли, при чем в разреженных слоях она уже лишена кислорода атмосферы и должна использовать свои запасы его.

¹ Можно на аэроплане, дирижабле, пушкой и пр.

17. Общий план космических достижений.

К. Циолковский предлагает следующий план завоевания межпланетного пространства: 1) На расстоянии 1 —2 тысяч километров от земли устраивается эфирная станция, где аккумулируется постепенно энергия солнца, которой можно пользоваться для дальнейших полетов. Этой же солнечной энергией могут пользоваться и ракеты, уловляя ее при помощи особых проводников.

Далее ракеты переносят нас на астероиды, спуск на которые не представляет трудности, и на которых можно достать различные необходимые материалы, при помощи которых можно лететь к другим планетам и солнцам. Спуск на землю можно делать по спирали, постепенно описывая пути вокруг земли, пока, наконец, полет не перейдет в планирование. При этом спуск лучше делать на воду.

18. Питание человека при полете в ракете.

Для того, чтобы обеспечить человеку питание при полете в ракете, ему необходимо взять с собой разные растения, которые будут очищать воздух и производить плоды в то время, как человек будет изменять воздух и поедать плоды. Для питания человеку необходимо в сутки извлечь из пищи 3000 больших калорий, что соответствует энергии 0,5 кг угля, или 1 кг муки, или 3 кг картофеля, или 2 кг мяса. Но эта энергия получается в мировом пространстве от освещения лучами солнца 1 м² плоскости, нормальной к ним, если предположить утилизацию лучей даже лишь в 7 %. Следовательно, необходимо лишь соответственно преобразовать эту солнечную энергию в питательное вещество, доставляемое растениями.

19. Взлет при помощи земной ракеты.

Для облегчения взлета К. Циолковский советует космическую ракету помещать в носу другой — земной, которая силою реакции своих взрывов должна скользить по уравненной поверхности земли, пока скорость ее не достигнет определенной величины, при которой начнется взрывание в космической ракете и последняя отделится от земной и улетит в пространство¹. На черт. 39 вверху показано соединение космической ракеты длиною 20 м, диаметром 2 м) с земной (длиною 100 м, диаметром 2 ^м). Внутри земной показаны: 1) взрывная труба, 2) насосы, которые при помощи двигателя (3) накачивают горючее (4) во взрывную трубу. На черт. 39 внизу показан в профиле наклонный путь (под 10 —20° к горизонту), устроенный в горах в виде металлической дороги длиною до 500 км в горах, вдоль которого должна двигаться земная ракета при обильной смазке, со скоростью до 3260 м/сек. В конце пути от нее отделяется космическая ракета, которая далее развивает скорость реакций собственных взрывов. Для облегчения такового отделения земная ракета начинает тормозиться о несмазанную часть дороги и, кроме того, из нее выдвигаются плоскости, на которые действует тормозящее сопротивление воздуха.

¹ Этот проект цитирован А. Шершевским (см. стр. 48).

Черт. 39.

Работу трения ракеты о дорогу К. Циолковский считает до 2% всей, затраченной на ее движение энергии, но говорит, что ему известны способы довести это трение почти до нуля.¹ К. Циолковский считает, что величина трения земной ракеты о воздух не может превышать числа.

. . . . . . (176) где d¹ — плотность газа,

g — ускор. с · земной тяжести,

S² — площадь трущейся поверхности,

V_m — скорость движения молекул газа.

¹ Для уменьшения трения ракеты о поверхность пути К. Ц. предлагает воздушную смазку. (Подробности см. Н. Рынин „Ракеты“, стр. 83.)

Далее К. Циолковский утверждает, что для постоянных газов и внешнего давления предельное трение пропорционально корню квадратному из молекулярного веса газа и обратно пропорционально корню квадратному из температуры газа.

Для воздуха по формуле (176) получаем для 1 кв. метра трение 0,011 тонн. Кроме этой формулы К. Циолковский дает для определения трения еще формулу.

. . . . . . (177)

где b — толщина прилипшего к 1 м² воздуха при скорости его движения 1 м/сек.,

n — ширина,

V — скорость ее.

Эта формула верна при V=l (длина ракеты); при этом:

. . . . . . (178)

Например, при g = 20; b = 3; d¹ = 0,0013 и b = 0,01 м:

F₁ = 195·10^-8·V² = 195·10^-8 • I². . . . . . (179)

Пусть и вес ракеты в тоннах выражается числом = 1. Тогда для разных ускорений р и разных скоростей V получим таблицу XXVII:

Таблица XXVII.

Длина, вес и скорость земной ракеты в метрах и тоннах Величина трения в килограммах Сопротивление по отношению к давлению на снаряд в % С = 10. То же С = 1 То же С = 4

1 0,002 0,0002 0,002 0,0005

10 0,2 0,002 0,02 0,005

100 20 0,02 0,2 0,05

500 500 0,1 1 0,25

1 000 2 000 0,2 2 0,5

1 500 4 500 0,3 3 0,75

2 000 8000 0,4 4 1

3 000 18 000 0,6 6 1,5

5 000 50 000 1 10 2,5

Длина (l) ракеты не должна превышать 100 метров. Если ракета будет короче в раз, то и время уменьшится во столько же раз, но толщина увлекаемого воздуха уменьшится в раз и во столько же уменьшится сопротивление воздуха. Тогда, вместо формулы (178) получим более точную, пригодную для всяких длин земной ракеты: же уменьшится сопротивление воздуха. Тогда, вместо формулы (178) получим более точную, пригодную для всяких длин земной ракеты:

. . . . . . (180)

Положим l = 100 м, тогда получим таблицу XXVIII для разных V

Таблица XXVIII.

Скорости V в метрах	100	200	300	400	500	700	1 000	2 000	3 000	4 000
ln ln	1 0 1	2 0,69 1,69	3 1,10 2,10	4 1,39 2,39	5 1,61 2,61	7 1,95 2,95	10 2,30 3,30	20 3,00 4,00	30 3,40 4,40	40 3,69 4,69

Последняя строка показывает, во сколько раз уменьшается толщина прилипшего слоя газа и сопротивление от трения при разных

Если в формуле (180):

b = 0,01; l = 100; n = 3, то F₁ = 195 · 10^-6 · V : . . . . . . (181)

На основании этой формулы составлена таблица XXIX абсолютных и относительных сопротивлений при разной силе взрывания (Р).

Таблица XXIX.

Скорости V в метрах Давление в кг Масса = 100 тонн. p = 10 Масса = 100 тонн. p = 1 Масса = 10 тонн. p = 1 Масса = 10 тонн. p = 4 Поправка: числа строк 2—6 множатся на

100 19,5 0,02 0,2 2 0,5 1

200 23,1 0,023 0,23 2,3 0,6 2

300 27,9 0,028 0,2 2,8 0,7 3

400 32,6 0,033 0,33 3,3 0,8 4

500 37,4 0,037 0,37 3,7 0,9 5

Скорости V в метрах Давление в кг Масса = 100 тонн. p = 10 Масса = 100 тонн. p = 1 Масса = 10 тонн. p = 1 Масса = 10 тонн. p = 4 Поправка: числа строк 2—6 множатся на

700 46,3 0,046 0,46 4,6 1,1 7

1 000 59,1 0,059 0,59 5,9 1,5 10

2 000 97,5 0,098 0,98 9,8 2,5 20

3 000 133,0 0,133 1,33 13,3 3,3 30

4 000 167,0 0,167 1,67 16,7 4,2 40

При самом малом ускорении (р = 1) и ничтожной массе (10 т) трение поглощает не более 17%

Определим наибольшие скорости земной ракеты.

Имеем:

R = p — g sinβ. . . . . . (182)

Здесь R — равнодействующая, р — ускорение от взрывающей силы и β — угол наклона к горизонту.

Далее:

. . . . . . (183)

Давление на ракету врывчатых веществ определяется уравнением:

. . . . . . (184)

Здесь M₁ — масса ракеты.

Приблизительно считаем β = 0, что мало отразится на величине V. Составляем таблицу XXX скоростей ракеты при разных длинах пробега.

Таблица XXX.

	1	2	5	10	50	100	200	300	500
100 50 30 20 10 5 3 1	447 319 246 201 142 101 78 45	634 453 348 282 200 141 109 63	1 030 735 404 460 326 230 178 103	1 420 1 015 780 634 450 315 246 142	3 180 2 270 1 750 1 424 1 000 710 550 318	4 470 3 194 2 460 1 998 1 420 1 000 774 447	6 340 4 530 3 480 2 835 2 000 1 418 1 091 634	7 780 5 560 4 280 3 479 2 460 1 740 1 340 778	10 300 7 360 5 650 4 600 3 260 2 300 1 780 1 030

Время движения земной ракеты получим, разделив скорость ее на ускорение р. Например, при V = 3 260, t = = 326 сек. = 5 мин. 26 секунд.

Определим вес горючего для земной ракеты весом 10 т плюс космическая ракета 10 т, итого 20 т. Тогда по таблице (стр. 89) определяем в тоннах вес искомого горючего для разных V. Скорость газов примем в 4 км/с.

Таблица XXXI.

M2 т V т

0,1 2 378

0,2 4 72

0,3 6 1 048

0,4 8 1314

0,5 10 1620

0,6 12 1876

0,7 14 2 116

0,8 16 2 344

0,9 18 2 568

1 20 2 772

1,5 30 3 660

2 40 4 392

Этих скоростей достаточно, и запас не превышает 40 т. Человеку помещаться в земной ракете не следует, так как при отлете из нее космической ракеты и при торможении ее, замедление ее движения может быть для него опасным.

20. Движение космической ракеты после разбега с земли.

Имеем уравнение (1):

. . . . . . (1) V = - V₁ - ln (M₁+M₂). . . . . . (3)

Если начальная скорость ракеты V₀, то М = М₂, поэтому:

V₀ = - V₁ ln (M₁+M₂) + C. . . . . . (185)

Вычитаем из (185) — (3), получим:

. . . . . . (186) Если М = 0, то получим наибольшую скорость V_max . . . . . . (187)

Если V₀ = 3 км/с и надо иметь V_max = 8 км/с, положим V₁ = 5 км/с, тогда по таблице на стр. 89 получим = 1,8.

Между тем как без земной ракеты пришлось бы при V_max = 8 км/с иметь = 4 (таблица на стр. 89).

На основании формулы (187) имеем:

. . . . . . (188)

Пользуясь этой формулой составляем таблицу XXXII:

Таблица XXXII.

Vmax км Vmax - 5 (из 188). из табл. стр. Vmax - 4 (из 188). из табл. стр. 13 Vmax - 3 (из 188). из табл. стр. 13

8 3 0,8 4 4 1,24 4 5 1,72 4

11 6 2,31 8 7 3,08 8 8 4 8

17 12 10,0 30 13 12,0 30 14 15 30

Из этой таблицы видно, что наличие земной ракеты значительно уменьшает вес космической.

В заключение приводим справку о стоимости издания этой книги:

1) Типографские расходы 2) Клише 3) Чертежные работы 5) Переписка Итого

2050 руб. 300 „ 60 „ 40 „ 2450 руб.

В продажу поступило 700 экз. по цене себестоимости назад